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. . . . g , g I , x ∈ I f ( x ) ≤ g ( x ) g ( x )=max { f ( t ): a ≤ t ≤ x } f I =[ a,b ] . lim x . y =2arctan e − tan y = . x ∈ [0 , 1] M> 0 | f ( x ) |≤ M . x , y ∈ R f ( x + y )= f ( x )+ f ( y ),2. f .1. a ∈ R f ( x )= ax . R f x , y ∈ R f ( x + y )=

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Academic year: 2021

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レポート 問題２（１９９９年度数学基礎Ｉ）

工学部８・９ （月曜３限）

１９９９年６月７日 問題１

実数

a, b

に対して, max

{ a, b } = 1 2 (a + b + | a − b | ), min { a, b } = 1 2 (a + b − | a − b | )

であることを確かめ,定 義域を同じくする関数

f , g

が連続である時, max

{ f(x), g(x) } , min { f (x), g(x) }

は連続であることを示せ.

問題２

f

は

R

上連続であり,周期

2π

を持つとする. この時ある

a ∈ R

が存在して

f (a + π) = f (a)

が成り立つ ことを示せ.

問題３

R

上定義された連続関数

f

がすべての

x, y ∈ R

に対して

f (x + y) = f (x) + f (y)

を満たすならば,ある

a ∈ R

が存在して

f (x) = ax

と書けることを示せ.

問題４

関数

f

は次の２つの条件を満たすならば連続であることを示せ.

1.

すべての

x, y ∈ R

に対して

f (x + y) = f (x) + f (y),

2.

任意の

x ∈ [0, 1]

に対してある

M > 0

が存在して

| f (x) | ≤ M .

問題５

y = 2 arctan e x − π 2

を満たすならばtan

y = e

x

− 2 e

−x であることを示せ.

問題６

lim x → 0+ x x

を求めよ.

問題７

関数

f

は

I = [a, b]

上で連続であるとする.

g(x) = max { f (t) : a ≤ t ≤ x }

によって関数

g

を定めると,

g

は

I

上で単調増加であり,任意の

x ∈ I

に対して

f (x) ≤ g(x)

を満たす連 続関数であることを示せ.

レポート の提出について

.

このレポートは１９９９年６月２１日の講義終了時に提出すること. それ以後の提出は認めない.

参照

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